O que é Recursão?

Recursão

Recursão é um conceito matemático muito utilizado na computação, no qual uma função ou algoritmo resolve um problema dividindo-o em problemas menores e, importante: chama a si mesma para resolvê-los. É como se o problema fosse repetido de forma “autorreferenciada” até que se atinja um caso base (uma condição simples que interrompa a repetição).

Exemplo: Sequência de Fibonacci

A sequência de Fibonacci é uma aplicação clássica de recursão. Cada número da sequência (a partir do terceiro) é a soma dos dois números anteriores:

• Fibonacci(0) = 0
• Fibonacci(1) = 1
• Fibonacci(n) = Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2)

Por exemplo, os primeiros números de Fibonacci são:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…

Se quisermos calcular o 5º número de Fibonacci, aplicamos a recursão até o caso base:

• Fibonacci(5) = Fibonacci(4) + Fibonacci(3) | ou seja: 3 + 2 = 5
• Fibonacci(4) = Fibonacci(3) + Fibonacci(2) | ou seja: 2 + 1 = 3
• Fibonacci(3) = Fibonacci(2) + Fibonacci(1) | ou seja: 1 + 1 = 2
• Fibonacci(2) = Fibonacci(1) + Fibonacci(0) | ou seja: 1 + 0 = 1
• Fibonacci(1) = 1
• Fibonacci(0) = 0

Assim, resolvemos de baixo para cima e descobrimos que Fibonacci(5) = 5.

Outro exemplo: Fatorial de um número

Imagine que você quer calcular o fatorial de um número. O fatorial é o resultado de multiplicar um número pelos seus antecessores até 1.

• Fatorial de 5 (5!): 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

Se formos resolver isso de maneira recursiva, a ideia é dividir o problema em partes menores:

• 5! é igual a 5 × 4!
• 4! é igual a 4 × 3!
• 3! é igual a 3 × 2!
• 2! é igual a 2 × 1!
• E 1! é igual a 1, que é o nosso caso base.

Quando a recursão encontra o caso base (1!), ela para e começa a resolver todas as multiplicações na ordem inversa:

1. 1! = 1
2. 2! = 2 × 1 = 2
3. 3! = 3 × 2 = 6
4. 4! = 4 × 6 = 24
5. 5! = 5 × 24 = 120

Representação em pseudocódigo

Aqui está como ficaria a função recursiva para calcular o fatorial:

função fatorial(n):
se n for 1:
retorne 1
senão:
retorne n * fatorial(n – 1)

Neste exemplo, a função fatorial() continua chamando a si mesma, diminuindo o valor de n até que n seja igual a 1, que é o caso base. A partir daí, todas as funções pendentes começam a ser resolvidas.

Quando usar recursão?

Recursão é útil quando:

1. O problema pode ser decomposto em subproblemas menores e semelhantes ao original.
2. Há uma condição clara de parada (caso base).
3. O problema possui uma definição natural recursiva (como árvores, listas ligadas, ou processos repetitivos).

Atenção para os perigos:

• Recursão infinita: Se a condição de parada (caso base) não estiver bem definida, a função ficará chamando a si mesma indefinidamente, levando a um loop infinito.
• Custo computacional: Em alguns casos, a recursão pode ser menos eficiente que outras abordagens, como a iteração, devido ao alto consumo de memória (uso excessivo da pilha de chamadas).

Vamos falar um pouco mais sobre fatoração

Fatoração: Entendendo o Conceito de Forma Simples

A fatoração é uma das ferramentas mais importantes na matemática. Ela nos ajuda a decompor números e expressões em partes menores chamadas fatores, o que torna problemas complexos mais simples de resolver. Vamos entender melhor como isso funciona e por que é tão útil.

O que é Fatoração?

Fatorar significa encontrar os números ou expressões que, multiplicados entre si, resultam no número ou na expressão original. Por exemplo, quando pensamos em um número como 12, podemos dividi-lo em:

• 12 = 2 × 6
• Ou ainda, 12 = 2 × 2 × 3

Nesse caso, os números 2 e 3 são os fatores de 12.

De modo geral, fatorar um número é encontrar todos os números primos que, quando multiplicados, resultam no número original. Um número primo é aquele que só pode ser dividido por 1 e por ele mesmo (como 2, 3, 5, 7…).

Exemplos de Fatoração de Números

Exemplo 1: Fatorando o número 18

Começamos dividindo 18 pelo menor número primo (2, 3, 5, 7…):

• 18 é divisível por 2, então:
  • 18 ÷ 2 = 9
• Agora, 9 é divisível por 3:
  • 9 ÷ 3 = 3
• E, finalmente, 3 ÷ 3 = 1

Logo, a fatoração de 18 é:

• 18 = 2 × 3 × 3 (ou 2 × 3²)

Aqui, encontramos que o número 18 pode ser escrito como a multiplicação dos fatores primos 2 e 3.

Exemplo 2: Fatorando o número 36

• 36 ÷ 2 = 18
• 18 ÷ 2 = 9
• 9 ÷ 3 = 3
• 3 ÷ 3 = 1

Então, a fatoração de 36 é:

• 36 = 2 × 2 × 3 × 3 (ou 2² × 3²)

Fatoração em Expressões Algébricas

A fatoração não é usada apenas para números. Ela também pode simplificar expressões algébricas, como polinômios, em termos menores. Vamos ver isso com um exemplo.

Exemplo 3: Fatorando uma expressão simples

Considere a expressão: x² + 5x + 6. Queremos fatorá-la.

Passo 1: Buscamos dois números que, quando multiplicados, resultem em 6 (o último termo), e que, quando somados, resultem em 5 (o coeficiente do termo do meio).

Os números são 2 e 3, pois:

• 2 × 3 = 6
• 2 + 3 = 5

Passo 2: Escrevemos a expressão fatorada:

• x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)

Agora, em vez de trabalhar com a expressão original, podemos usar a forma fatorada, o que pode ser muito mais simples em alguns problemas, como equações quadráticas.

Por que a Fatoração é Importante?

A fatoração simplifica equações e facilita a resolução de problemas matemáticos. Veja alguns benefícios:

1. Resolução de equações: Equações polinomiais podem ser resolvidas de maneira mais fácil quando fatoradas. Por exemplo, em uma equação como (x + 2)(x – 3) = 0, podemos simplesmente resolver cada fator separadamente, obtendo x = -2 ou x = 3.
2. Simplificação de frações: Em frações algébricas, fatorar o numerador e o denominador permite simplificar as frações, eliminando termos comuns.
3. Divisibilidade: A fatoração ajuda a identificar os divisores de um número ou expressão, o que pode ser útil em diversas situações.

Fatoração é como desmontar um quebra-cabeça matemático: você pega um número ou uma expressão e a divide em suas partes fundamentais. Isso facilita o trabalho com equações, simplifica cálculos e ajuda em problemas mais complexos.

Seja fatorando números ou expressões algébricas, essa técnica é uma das bases da matemática, e dominar esse conceito é essencial para avançar em diversos tópicos. Como vimos nos exemplos, é uma ferramenta poderosa e fácil de entender quando usamos os passos corretos!

E como aplicar esses conceitos abstratos na prática?

A fatoração pode ser associada a diversas atividades práticas da vida cotidiana, pois muitas vezes precisamos dividir um problema maior em partes menores e mais simples para resolvê-lo. Vamos aplicar o conceito de fatoração na organização de um evento como exemplo.

Exemplo Prático: Planejando uma Festa

Imagine que você vai organizar uma festa para 60 pessoas. Esse é o seu “problema maior” — garantir que a festa tenha sucesso para todas essas pessoas. Mas para fazer isso de maneira eficiente, é importante “fatorar” as diferentes tarefas em partes menores e mais simples.

1. Dividindo o Número de Convidados

Primeiro, pense no número de convidados como um todo (60 pessoas). Para facilitar o planejamento, você pode dividir esses 60 convidados em grupos menores, como:

• Família: 20 pessoas
• Amigos próximos: 20 pessoas
• Colegas de trabalho: 20 pessoas

Agora, em vez de pensar em todos os 60 convidados de uma vez, você pode focar em planejar os detalhes para cada grupo. Esse ato de dividir a tarefa em partes menores se assemelha à fatoração do número 60. Neste caso, você fatorou os 60 convidados em 3 grupos de 20.

2. Fatorando os Itens Necessários para a Festa

Outro exemplo de como a fatoração pode ser aplicada na organização é ao pensar nos diferentes aspectos que precisam ser considerados para a festa. Ao invés de pensar no evento como um todo, você pode fatorar as atividades em categorias menores:

• Comida: Quantas pessoas irão comer? Quantos tipos de pratos (entradas, prato principal, sobremesas) serão servidos? Quantos litros de bebida são necessários?
• Decoração: O que será necessário para decorar o local? Flores, balões, iluminação?
• Música e entretenimento: Quem será responsável pela música? Contratar um DJ ou preparar uma playlist? Haverá outras atividades, como jogos ou atrações?

Cada uma dessas partes é como um “fator” do evento maior. Ao planejar um de cada vez, você simplifica o processo, de modo semelhante ao que ocorre na matemática, quando fatores menores tornam um problema mais fácil de resolver.

3. Dividindo o Orçamento

Se você tem um orçamento total de R$ 3.000, também pode fatorá-lo para entender quanto será gasto em cada parte da festa:

• Comida e bebida: R$ 1.200
• Decoração: R$ 600
• Música/Entretenimento: R$ 500
• Local: R$ 700

Nesse caso, você fatorou o valor total de R$ 3.000 em pequenas partes, assim como a fatoração numérica decompõe um número em multiplicações menores. Isso facilita a alocação de recursos e o controle dos gastos.

Conclusão

Assim como na matemática, onde fatoramos números para facilitar cálculos, no planejamento de eventos (ou qualquer outro projeto), “fatorar” as tarefas e subdividir os desafios em partes menores e gerenciáveis permite um planejamento mais eficiente e organizado. A lógica de dividir o problema em fatores menores torna mais fácil lidar com tarefas complexas, garantindo que cada parte seja concluída com sucesso.

Saiba mais:

khanacademy.org